<t->
          Tudo  Matemtica
          8 ano
          Ensino Fundamental

          Luiz Roberto Dante

          Impresso Braille em
          9 partes, na diagramao de
          28 linhas por 34 caracteres,
          da 3 edio, 1 impresso,
          So Paulo, 2011, 
          Editora tica

          Oitava Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
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          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Gerente Editorial
          Mrcia Takeuchi

          Editora 
          Crmen Slvia Rela 
          Matricardi

          Editoras de Texto 
          Ldia La Mark
          Snia Scoss Nicolai
 
          Assessoria Didtica
          Clodoaldo Pereira Leite
          
          ISBN 978-85-08-12485-5

          2011
          Todos os direitos reservados 
          pela Editora tica S.A.
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<P>           
                                I
Sumrio

Oitava Parte

Captulo 10 

Equaes fracionrias e 
  sistemas com equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 785

1. Fraes algbricas ::::: 788 
Simplificao de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 793 
Adio e subtrao de 
  fraes algbricas :::::::: 797
Multiplicao de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 800  
Diviso de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 802 
Potenciao de fraes 
  algbricas :::::::::::::::: 804
<p>
2. Equao fracionria 
  redutvel a uma equao do 
  1 grau com uma 
  incgnita ::::::::::::::::: 805  
Resoluo de equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 808  

3. Sistemas com equaes 
  fracionrias :::::::::::::: 814  

Reviso cumulativa ::::::::: 823  
Para ler, pensar e 
  divertir-se ::::::::::::::: 827

Glossrio :::::::::::::::::: 832 

<264>
<Ttudo  mat. 8 ano>
<t+785>
Captulo 10 

<R+>
Equaes fracionrias e sistemas 
  com equaes fracionrias 

Para resolver muitas situaes-problema vamos precisar de um novo tipo de equao. 
<R->

  Examine algumas situaes. Elas sero retomadas ao longo do captulo. 
 
<R+>
1) A massa de 68 g de mercrio ocupa um certo volume, em cm3, e a massa de 39 g de vidro ocupa o triplo desse volume. Calcule a densidade do mercrio e a densidade do vidro, sabendo que a diferena entre elas  de 11 g/cm3. 
<R->

_`[{o menino diz_`]
  "Densidade de um material eu j vi:  a razo entre sua massa (em g) e seu volume (em cm3)."
<p>
<R+>
<F->
Veja as representaes: 
 Volume do mercrio (em cm3): x 
 Volume do vidro (em cm3): 3x
 Densidade do mercrio (em g/cm3): 68~x 
 Densidade do vidro (em g/cm3): 39~3x 

Equao correspondente  situao dada: 
68~x-39~3x=11 
<F+>
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Essa equao recebe o nome de equao fracionria, pois apresenta incgnita no denominador."

<265> 
<R+>
2) Uma distncia de 400 km foi percorrida por dois carros. 
<R->
  Sabe-se que o primeiro carro gastou 1 hora a mais do que o segundo e que a velocidade mdia do primeiro carro corresponde a #e da velocidade do segundo. 
  Descubra a velocidade mdia de cada carro. 
<p>
<R+>
<F->
Representaes: 
 Tempo gasto pelo primeiro carro (em horas): x 
 Tempo gasto pelo segundo carro (em horas): y 
Sistema com uma equao fracionria: x=y+1 e 400~x=4~5.
  .400~y 

3) A soma de dois nmeros  60 e o produto dos dois  675. O quociente do 5 pelo primeiro nmero, mais o quociente do 9 pelo segundo nmero,  igual a #ae. Quais so esses nmeros? 
Representaes: 
 Primeiro nmero: x  
 Segundo nmero: y 
 Quociente do 5 pelo primeiro nmero: 5~x 
 Quociente do 9 pelo segundo nmero: 9~y 
Sistema de equaes: x+y=60 e 5~x+9~y=8~15, sabendo que x.y=675. 
<p>
Neste captulo voc vai aprender a resolver equaes fracionrias e sistemas com equaes fracionrias. Para isso, voc ter que aprender o que so fraes algbricas e como operar com elas. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<266> 
1. Fraes algbricas 

  Examine as expresses algbricas dadas na forma de frao: 

<R+>
1~x, ?a+b*~?b-2*, x~?x2-
  -2xy+y2*, ?ax*~?2by*, n~?m-3n* 
<R->

  Todas elas indicam o quociente de dois polinmios. Nelas, uma ou mais variveis aparecem no denominador. 
  Essas expresses recebem o nome de fraes algbricas. 
<p>
  Como no existe diviso por zero, o denominador de uma frao algbrica necessariamente tem que ser diferente de zero. Caso contrrio, ela no representa um nmero real. Fica ento estabelecido que, daqui para a frente, todas as fraes algbricas que usarmos tm denominador diferente de zero. 
  Por exemplo: 
<R+>
<F->
a) na frao 1~x, necessariamente temos x=0;
b) na frao ?a+b*~?b-2*, necessariamente temos b-2=0, ou seja, b=2.

Atividades 

1. Escreva cada uma das fraes algbricas, com as respectivas restries ao denominador: 
a) Numerador: 10. 
Denominador: o dobro de um nmero real qualquer. 
<p>
b) Numerador: o sucessor de um nmero natural qualquer. 
Denominador: o triplo desse nmero.  
c) Numerador: um nmero real qualquer. 
Denominador: esse nmero aumentado de 1.  
d) Numerador: 2.
Denominador: o quadrado de um nmero real qualquer, diminudo de 1.  

2. Qual restrio devemos fazer ao denominador para que cada frao algbrica a seguir represente um nmero real? 
a) x~?x-1*  
b) y~?2x+6*
c) n~?m-3n* 
d) x~?x2-1*
e) 10~2x
f) x~?x-y*
<p>
3. O preo de um litro de gasolina  de x reais. Com R$100,00, at quantos litros de gasolina podemos colocar no carro? 
<F+>
<R->
<267>
<R+>
4. Voc j viu que a densidade (d) de um corpo  dada pela frmula d=m~V, em que m  a massa do corpo (em g) e V  o volume desse corpo (em cm3). 
<R->
  Dois corpos tm a mesma massa de 200 g. Um deles tem volume de x cm3 e o outro de 2x cm3. Escreva a frao algbrica que indica a densidade de cada um desses corpos. 
<R+>
<F->
5. Numa festa junina beneficente foram arrecadados x reais. Como as despesas ficaram em y reais e o lucro deve ser repartido igualmente entre n instituies de caridade, indique a frao algbrica que representa quanto cada uma vai receber. 
<p>
6. A velocidade mdia de um veculo, em km/h,  dada pela razo ?distncia percorrida (em km)* ~ ?tempo gasto (em h)*. A distncia de Salvador a Recife  de 842 km. Paulo percorreu essa distncia em x horas. Gabriela percorreu essa mesma distncia, mas gastou 1 hora a mais do que Paulo. Escreva a frao algbrica que indica a velocidade mdia: 
a) que Paulo desenvolveu; 
b) que Gabriela desenvolveu.

Leitura 
<F+>
<R->
 
  A densidade demogrfica de um municpio, estado ou pas  dada pela razo ?nmero de habitantes* ~ ?nmero de km2*. 
  Segundo dados de 2008, entre os estados e o Distrito Federal, os de maior densidade demogrfica eram: Distrito Federal: 379,2 hab./km2; Rio de Janeiro: 341,3 hab./km2; e So Paulo: 156,4 hab./km2. 
<p>
  Os estados de menor densidade demogrfica eram: Roraima: 1,27 hab./km2; Amazonas: 1,48 hab./km2; e Mato Grosso: 2,94 hab./km2. 
<R+>
<F->
Agora  com voc! 
Escreva a frao algbrica que indica a densidade demogrfica de: 
a) um municpio de 30.000 habitantes que tenha x quilmetros quadrados de rea.  
b) um municpio de 50.000 habitantes que tenha 100 km2 a mais do que o anterior. 
<F+>
<R->
 
<268> 
<R+>
Simplificao de fraes 
  algbricas 
<R->

  Na simplificao de fraes dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo nmero (diferente de zero). Isso equivale a cancelar os fatores comuns e obter uma frao mais simples equivalente  frao dada. Por exemplo: 
<p>
<R+>
<F->
 #,?bj=?35*~?225*=#:d
 #;beb=?237*~22
  327*=1~?23*=#,f
<F+>
<R->
  Usando esse mesmo procedimento, podemos simplificar uma frao algbrica quando ela apresenta um fator comum, no nulo, ao numerador e ao denominador. Por exemplo, vamos simplificar as fraes algbricas: 

_`[{o professor diz_`]
  "Simplificar  tornar mais simples mantendo o mesmo valor, ou seja,  encontrar uma frao mais simples e equivalente  primeira."

<R+>
<F->
a) 4xy2~6x2y=?2.2.x.y.
  .y*~?2.3.x.x.y*=2y~3x 
b) ?x2-y2*~?x+y* 
<F+>
<R->
  O numerador  uma diferena entre dois quadrados. Podemos fatorar e depois simplificar. 
<R+>
?x2-y2*~?x+y*=
  =?x+yx-y*~?x+y*=x-y
<p> 
c) ?4a+8a2*~2a 
<R->
  Como 4a  fator comum das parcelas do numerador, podemos coloc-lo em evidncia e simplificar: 
<R+>
<F->
?4a+8a2*~2a=?4a1+
  +2a*~2a=21+2a=
  =2+4a
d) ?y2+4y+4*~?y2-4* 
<F+>
<R->
  O numerador  um trinmio quadrado perfeito, e o denominador  uma diferena de dois quadrados. Fatorando e simplificando, temos: 
<R+>
?y2+4y+4*~?y2-4*=?y+
  +22*~?y+2y-2*=
  =?y+2y+2*~?y+2y-2*=
  =y+2~y-2 
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "No podemos simplificar assim: ?y+2*~?y-2*, pois nem o y nem o 2 so fatores comuns ao numerador e ao denominador."

<R+>
e) ?x2-y2*~?x2+xy*=
  =?x+yx-y*~?xx+y*=?x-y*~x
<R->
<p>
_`[{o professor diz_`]
  "Tambm no podemos simplificar assim: x-y~x, pois o termo x no  fator comum ao numerador e ao denominador."

f) ?x+5*~?x+1* 
  No  possvel simplificar, pois no existe fator comum ao numerador e ao denominador. 

<269> 
Atividades

<R+>
<F->
7. Simplifique as fraes algbricas quando for possvel. 
a) 5xy~10x
b) 16a2b~12ab2 
c) ?2x2y3z*~?x3y3*
d) ?4m5n4*~?20m4n3* 
e) 2xy~5ab 
f) ?a+a2*~a

8. Simplifique mais estas fraes algbricas, quando possvel: 
a) ?x+xy*~?x+xz* 
b) ?x3+8*~?x2-4* 
<p>
c) ?3a3-3a*~?a-1* 
d) ?a+3*~?a-2* 
e) ?x2-5x+xy-5y*~?7x+7y*
f) ?16-t2*~?8+2t*
g) ?2y2-10y*~?y-5*
h) ?a3-b3*~?a3+
  +a2b+ab2*

9. Efetue as operaes e, depois, simplifique. 
a) ?x+yx+y-y2*~?x+2y* 
b) ?x2+1-x+1*~?x3+
  +1-1+x*  
c) ?2ax-ya+b+bx-ax*~?ax-ay* 

Adio e subtrao de fraes 
  algbricas 
<F+>
<R->

  Adicionamos e subtramos fraes algbricas da mesma maneira que adicionamos e subtramos nmeros na forma fracionria: 
<R+>
<F->
 obtemos fraes equivalentes e de mesmo denominador; 
 o denominador comum poder ser o produto ou o mmc dos denominadores; 
<p>
 somamos ou subtramos os numeradores e conservamos o denominador comum. 
<F+>
<R->
  Por exemplo, vamos calcular: 
<R+>
<F->
a) 1~2x+3~4y-2~3 
 Usando o produto dos denominadores: 2x.4y.3=24xy 
1~2x+3~4y-2~3=
  =12y~24xy+18x~24xy-
  -16xy~24xy=?12y+18x-
  -16xy*~24xy=?26y+9x-
  -8xy*~24xy=?26y+9x-
  -8xy*~?2.12xy*=?6y+9x-
  -8xy*~12xy
 Usando o mmc dos denominadores: mmc2x, 4y, 3=12xy 
1~2x+3~4y-2~3=
  =6y~12xy+9x~12xy-
  -8xy~12xy=?6y+9x-
  -8xy*~12xy  

b) 1~?x-y*+x~?x2-y2* Fazemos: mmcx-y, x2-y2=
  =x+yx-y
?x+y*~?x+yx-y*+
  +x~?x+yx-y*=?x+y+
  +x*~?x+yx-y*=?2x+
<p>
  +y*~?x+yx-y*=?2x+
  +y*~?x2-y2*
<F+>
<R->

<270>
Atividades

<R+>
<F->
10. Efetue e, se possvel, simplifique os resultados. 
a) 1~2a+2~3a-3~6a
b) 1~x+3~4y-1~6xy
c) a~3+b~a-ab~4a2  

11. Obtenha uma expresso equivalente ao que  dado. Confira as respostas com um colega. 
a) x~?x2-4*-5~?x+2*
b) a~?a2-b2*+1~?a+b*
c) x~?x+y*+y~?x+y*
d) ?1+x*~?1-x*-?1-x*~?1+
  +x*
e) a~?a-b*-b~?a+b*
f) ?a2-4*~?a2+2a*+1~a

12. Efetue 1~x-?x2-
  -9*~?x2+3x* e determine o valor numrico dessa expresso para x=2. 
<p>
13. Efetue x~?x2-
  -16*+3~?x+4* e determine o valor numrico dessa expresso para x=5. 

Multiplicao de fraes 
  algbricas 
<F+>
<R->

  Multiplicamos fraes algbricas da mesma maneira que multiplicamos nmeros na forma fracionria. 
  Examine os exemplos, sempre considerando os denominadores diferentes de zero. 
<R+>
<F->
a) #:d.#,;ae=?3.12*~?4.15*=
  =#:e
b) 3x~4y.8y2~7x3=?3.x.
  .8.y.y*~?4.y.7.x.x.x*=
  =6y~7x2
c) 6xy~?x2-y2*.?x+y*~2x=
  =6xy~?x+yx-y*.?x+y*~2x=
  =?6xy.x+y*~?x+yx-y.2x*=
  =3y~?x-y*
<p>
Atividades

14. Efetue as multiplicaes e, se possvel, simplifique o produto. 
a) 1~a.a2~2
b) ?a+a2*~6.18~?a+1*
c) ?x+3*~5.10~?x2-9*
d) ?x+2xy*~?x2-16*.?x2+
  +4x*~?2y+1*

15. Simplifique, efetue e determine o valor numrico do produto para a=5: ?a2+5a*~?a+
  +1*.?a2-1*~?a+5*. 
16. Por meio de fraes algbricas, indique o permetro e a rea da regio retangular a seguir. 

!:::::::::::::::
l               _
l               _ 2~y
l               _
h:::::::::::::::j
     x~y
<F+>
<R->

<271> 
<p>
Diviso de fraes algbricas 

  Dividimos fraes algbricas da mesma maneira que dividimos nmeros na forma de frao: multiplicando a primeira pelo inverso da segunda. 

_`[{o professor diz_`]
  "Esteja sempre atento s restries. No exemplo b devemos ter z=0 e x=0, pois z=0 e x=0 anulam os denominadores."

<R+>
Exemplos: 
<F->
a) #;,f#:h=#;,f.#c=#;c=9#,c
b) 4xy~z24x~5z=
  =4xy~z2.5z~4x=
  =?4xy.5z*~?z2.4x*=5y~z
c) ?x2-4*~?x+2xy*
  ?x2+2x*~?2y+1*=
  =?x2-4*~?x+2xy*.?2y+
  +1*~?x2+2x*=?x+2x-2.
  .2y+1*~?x1+2y.xx+2*=
  =?x-2*~x2
<F+>
<R->
<p>
  Lembrando que o trao de frao indica diviso, a expresso 
 1~?1+1~x* significa 11+
 +1~x. Ento: 1~?1+1~x*=
 =11+1~x=1?x+1*~x=
 =1.x~?x+1*=x~?x+1* 

Atividades

<R+>
<F->
17. Efetue as divises e, se possvel, simplifique o quociente. 
a) 1~x2~x2
b) x~3yx~y
c) y2~?a+b*y3~?a+b*
d) 3~x21~x
e) ?a2-b2*~?a2+2ab*
  ?a-b*~?a+2b*
f) 2x4~?a5+a4*
  8x2~?2a+2*
g) ?y+1*~x?y2-1*~x4
h) ?a2+2a+1*~?a2-1*?a+
  +1*~?a2-1*
i) 1-1~a21-1~a
<p>
18. Calcule, lembrando sempre que todo denominador  diferente de zero: 
a) a2xy2~ax2y
b) ?x2-y2*2xy~?x+y*xy
c) ?a2+2ab+b2*~?ab+
  +b2*a
<F+>
<R->

<272> 
<R+>
Potenciao de fraes algbricas 
<R->

  Determinamos a potncia de uma frao algbrica da mesma maneira que elevamos um nmero na forma de frao a um expoente. 
<R+>
<F->
Exemplos: 
a) #;c3=23~33=#bg
b) 2x~3y2=
  =2x2~3y2=
  =4x2~9y2
c) #;c-3=#:b3=
  =33~23=#;=h
d) ?a+b*~3x-2=3x~?a+
  +b*2=9x2~?a+b2* ou 
  9x2~?a2+2ab+b2*
<p>
Atividades

19. Efetue as potenciaes. 
a) x~2y3
b) 2a2b~3c3
c) 2x~y-1
d) 3a~b2-2
e) x~?x+y*2

20. Simplifique a frao algbrica ?x-1+y-1*~xy-1. 
21. Efetue e simplifique 2a~?x-y*24a~?x-y*.
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<R+>
2. Equao fracionria redutvel 
  a uma equao do 1 grau com 
  uma incgnita 

Denominamos equao fracionria toda equao em que existe ao menos uma incgnita no denominador. 
<R->
<p>
  Vamos retomar a primeira situao da pgina 785, de abertura deste captulo (sobre as densidades). 
  A massa de 68 g de mercrio ocupa certo volume, em cm3, e a massa de 39 g de vidro ocupa o triplo desse volume. 
  Calcule a densidade do mercrio e a densidade do vidro, sabendo que a diferena entre elas  de 11 g/cm3. 
<R+>
<F->
 Densidade do mercrio (em g/cm3): 68~x  
 Densidade do vidro (em g/cm3): 39~3x 
Equao: 68~x-39~3x=11, com x=0 
<F+>
<R->
  Esse  um exemplo de equao fracionria, pois a incgnita aparece no denominador. A resoluo  feita da mesma maneira que a resoluo de uma equao inteira. Apenas devemos tomar o cuidado de observar as restries referentes ao problema e as restries para 
<p>
 no termos diviso por zero. No 
 exemplo anterior, a restrio  x>0. 
<273>
  Vamos resolver a equao:
<R+>
<F->
68~x-39~3x=11
204~3x-39~3x=33x~3x
(Reduzimos ao mesmo denominador.)
204-39=33x
(Eliminamos os denominadores, multiplicando ambos os membros por 3x.) 
33x=165
x=#,!?cc=5
Como 5>0, a soluo da equao  5.
 Densidade do mercrio: #!e g/cm3=13,6 g/cm3 
 Densidade do vidro: #:*ae g/cm3=2,6 g/cm3 
<F+>
<R->
  Neste estudo vamos resolver equaes fracionrias que, eliminados os denominadores, ficam reduzidas a equaes do 1 grau com as devidas restries ao valor da incgnita. 
<p>
<R+>
Resoluo de equaes 
  fracionrias 
<R->

  Veja mais dois exemplos. 

<R+>
<F->
Exemplo 1: #:d+2~x=#,c, para x real e x=0.
#:d+2~x=#,c
9x~12x+24~12x=4x~12x
(Reduzimos ao mesmo denominador e depois o eliminamos, usando o princpio multiplicativo da igualdade.) 
9x+24=4x
9x-4x=-24
(Usamos o princpio aditivo da igualdade.) 
5x=-24
x=-#;e
Como -#;e=0, ento x=-#;e  a soluo da equao.

Exemplo 2: x~?x-3*=
  =1~?x+3*+?x2+1*~?x2-
  -9*, para x=3 e x=-3.
x~?x-3*=1~?x+3*+?x2+
  +1*~?x2-9*
<p>
?xx+3*~?x+3x-3*=
  =?x-3*~?x+3x-3*+
  +?x2+1*~?x+3x-3*
xx+3=x-3+x2+1
x2+3x=x-3+x2+1
x2-x2+3x-x=-3+1
2x=-2
x=-#;b=-1
Como -1=3 e -1=-3, a soluo da equao  x=-1. 
<F+>
<R->

<274>
Atividades
 
<R+>
<F->
22. Resolva as seguintes equaes fracionrias: 
a) 3~x+#;e=#:d x=0 
b) #,c+2~?x+1*=#,f x=-1 
c) 3~?2x+1*=2~?x-
  -1* x=-#,b; x=1
d) 2~?x2-4*=-1~?x+
  +2* x=2; x=-2
e) 1~?x-3*=2?x2-9*+3~?x+
  +3* x=-3; x=3
f) 2~?x-2*=5~?x2-2x*+
  +3~x x=2; x=0
<p>
23. Determine o nmero real x, de modo que: 
a) seu inverso adicionado a 3 d 3,25; 
b) o triplo do seu inverso mais 4 seja igual a #:,g. 

24. Vo ser repartidas igualmente em um grupo de crianas 96 figurinhas. Se chegarem mais duas crianas, a quantidade que cada uma vai receber ser #:d da quantidade da situao inicial. Quantas crianas h no grupo? 
25. Faa a verificao da situao da atividade anterior. 
26. Um carro, com certa velocidade mdia, percorre os 400 km que separam Taubat (SP) de Ribeiro Preto (SP) em x horas. Outro carro, com a mesma velocidade mdia do primeiro, percorre os 800 km de Araraquara (SP) a Braslia (DF) em x+4 horas. Determine o nmero x de horas.
<p>
27. Uma torneira enche um tanque em 9 horas e outra enche o mesmo tanque em x horas. Juntas, elas enchem o tanque em 4 horas. Descubra o nmero x de horas que a segunda torneira demora para encher o tanque. 
28. Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Outra torneira enche o mesmo tanque em 6 horas. Juntas, elas demoraro quanto tempo para encher o tanque? 
29. Uma empresa executou um trabalho em 8 dias. Outra empresa executou o mesmo trabalho em x dias. Juntas, elas executaram o mesmo trabalho em 4 dias. Qual  o valor de x? 
30. Uma fbrica produzia diariamente 200 peas. Com a admisso de mais 20 funcionrios, a produo diria passou a ser de 240 peas. Quantos funcionrios trabalhavam nessa fbrica, antes dessa admisso? 
<F+>
<R->

<275>
<p>
Leitura 

<R+>
As leis de Kepler sobre o 
  movimento dos planetas 
<R->

  No incio do sculo XVII, o astrnomo alemo Johann Kepler (1571-1630) formulou as trs leis bsicas sobre o movimento dos planetas, provando que as suas rbitas so elpticas e no circulares, como se supunha at ento. Isso abriu caminho para que 
 Isaac Newton (1642-1727) formulasse sua Lei da Gravitao Universal. 
  Vejamos as leis de Kepler: 

1 Lei ou Lei das rbitas 
  Os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, o qual ocupa um dos focos da elipse. 
 
2 Lei ou Lei das reas 
  A linha imaginria que liga o Sol ao planeta varre reas iguais 
 em intervalos de tempo tambm 
<p> 
 iguais. Por exemplo, se o planeta gasta o mesmo tempo para se mover de A at B como de C para D, ento a rea de {a{s{b  igual  rea de {d{s{c. 

_`[{figura no adaptada_`]

3 Lei ou Lei dos Perodos 
  Sendo T (em segundos) o perodo de revoluo do planeta, isto , o intervalo de tempo para ele dar uma volta completa em torno do Sol, e r (em metros) a distncia mdia (ou raio mdio) desse planeta ao Sol, a 3 lei de Kepler estabelece: 
  O quadrado do perodo de revoluo T2 de cada planeta em torno do Sol  diretamente proporcional ao cubo da distncia mdia r3 desse planeta ao Sol, ou seja, T2=Kr3 ou T2~r3=K.
  K  conhecida como constante de Kepler. Ela s depende da massa do Sol. 
<p>
<R+>
<F->
Agora  com voc! 

_`[{para utilizar a mquina de calcular_`]

1. Para o planeta Terra sabemos que T=3,16107 s e k=3,0210-19 s2/m3. Determine a distncia mdia, ou raio mdio, da Terra elevada ao cubo r3.
2. A partir do valor encontrado na atividade anterior, determine o valor aproximado de r. 
3. Para o planeta Marte sabemos que r=2,281011 m e k=2,9810-19 s2/m3. Determine o valor do perodo de revoluo T.  
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<276> 
<R+>
3. Sistemas com equaes 
  fracionrias 
<R->

  Quando pelo menos uma das equaes do sistema contm uma das in-
<p>
 cgnitas no denominador, o sistema  chamado de sistema com equaes fracionrias. 
  Vejamos com exemplos como resolver tais sistemas. 

Exemplo 1 

  Vamos resolver este sistema com equaes fracionrias: 

<R+>
<F->
2x~y+3=#;,e
1~x+2~?y-1*=5~6x
<F+>
<R->

  Devemos impor as restries y=0, x=0 e y=1. 
  Vamos preparar o sistema escrevendo as equaes na forma ax+by=c: 

<R+>
<F->
2x~y+3=#;,e
10x~5y+15y~5y=21y~5y
10x+15y=21y
10x+15y-21y=0
10x-6y=0
<p>
1~x+2~?y-1*=5~6x
?6y-1*~?6xy-1*+
  +12x~?6xy-1*=?5y-
  -1*~?6xy-1*
6y-1+12x=5y-1
6y-6+12x=5y-5
12x+6y-5y=-5+6
12x+y=1
<F+>
<R->

  Resolvemos, agora, o sistema 10x-6y=0 e 12x+y=1, que  equivalente ao primeiro, dentro das restries impostas. 
  
<R+>
<F->
10x-6y=0 e 12x+y=1 6 
10x-6y=0
72x+6y=6
82x=6
x=#!hb
x=#:da

10x-6y=0
10.#:da-6y=0
#:}da=6y
30=246y
y=#:}bdf
y=#?da
<F+>
<R->
<p>
_`[{a menina diz_`]
  "Aqui usamos o mtodo da adio."

  Como #:da=0, #?da=0 e #?da=1, a soluo do sistema  o par ordenado #:da,#?da.

Exemplo 2 

  Vamos retomar o sistema da terceira situao da pgina 787, na abertura deste captulo: 

<R+>
x+y=60 e 5~x+9~y=#ae, sabendo que x.y=675. 
<R->

<277>  
<R+>
<F->
Restries: x=0 e y=0. 
Preparando a 2 equao:  
5~x+9~y=#ae
75y~15xy+135x~15xy=
  =8xy~15xy
75y+135x=8xy xy=675
135x+75y=8.#fge
135x+75y=5.400 15
9x+5y=360
<F+>
<R->
<p>
  Ficamos ento com o sistema: x+y=60 e 9x+5y=360
  Vamos resolv-lo pelo mtodo da substituio: 
 
<R+>
<F->
x+y=60
y=60-x

9x+5y=360
9x+560-x=360
9x+300-5x=360
4x=60
x=15

y=60-x
y=60-15
y=45
<F+>
<R->

  Como 15=0 e 45=0, a soluo do sistema  o par ordenado 15,#de. Assim, os nmeros procurados so 15 e 45. Note que 15+45=60, 15.45=675 e #?ae+#*de=#,?de+#*de=#;de=#ae.
<p> 
Exemplo 3 

  Vamos resolver o sistema 2~x+3~y=3 e 1~x-5~y=-#;c, com x=0 e y=0.
  Nesse caso, precisamos usar um artifcio: substituir 1~x por a e 1~y por b, recaindo ento em outro sistema. Veja: 

<R+>
<F->
2a+3b=3
a-5b=-#;c ou
2a+3b=3
3a-15b=-2

2a+3b=3 5
3a-15b=-2
10a+15b=15
3a-15b=-2
13a=13
a=#,:ac
a=1
<p>
2a+3b=3
2.1+3b=3
2+3b=3
3b=3-2
3b=1
b=#,c
<F+>
<R->

  Agora, calculamos x e y: 

<R+>
<F->
1~x=a
1~x=1
x=1

1~y=b
1~y=#,c
y=3
<F+>
<R->

  Como 1=0 e 3=0, a soluo do sistema inicial  o par ordenado 1,#c. 

<278> 
Atividades
 
<R+>
<F->
31. Resolva os seguintes sistemas de equaes fracionrias: 
<p>
a) x+y=6 e x~y=#,b
b) 3x~y+1=#,e e 1~x+3~?y-1*=13~4x
c) 2~?x-2*=10~?y-3* e 3x-4y=11

32. Determine a soluo x,y dos sistemas: 
a) 1~x-1~y=-#?d e 3~x+2~y=-#?b
b) 10~x+9~y=8 e 4~x+6~y=4, sabendo que xy=6.
<F+>
<R->
 
_`[{a menina diz_`]
  "Aqui, no se esquea de usar o artifcio, fazendo 1~x=a e 1~y=b."

<R+>
<F->
33. Retome e resolva o sistema que aparece na segunda situao da pgina 786, na abertura deste captulo. 
<p>
34. A diferena entre dois nmeros  2 e o quociente do segundo pelo primeiro  3. Quais so esses nmeros? 
35. O que voc achou mais difcil neste captulo? E mais fcil? Responda em seu caderno. 

Raciocnio lgico
<F+>
<R->
 
  Um torrador comporta apenas duas fatias de po e s torra a fatia de um lado de cada vez. Claudete torra 3 fatias usando o torrador quatro vezes: 
<R+>
<F->
1) Torra duas fatias de um lado. 
2) Vira as duas fatias, j torradas de um lado, e torra-as do outro lado. 
3) Torra a terceira fatia de um lado. 
4) Vira a terceira fatia, j torrada de um lado, e torra-a do outro lado. 
<p>
 possvel fazer a mesma coisa usando o torrador apenas 3 vezes? Explique. 

Adaptado de: Malba Tahan. *Matemtica divertida e delirante*. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<279> 
Reviso cumulativa
 
<R+>
<F->
1. Qual restrio devemos fazer ao denominador para que cada frao algbrica represente um nmero real? 
a) ?x+2*~?x-7*
b) a~?4a-20* 
c) ?y+1*~?2x-5*
d) b~?b2-4*
 
2. Resolva o sistema de equaes fracionrias. 1~?x-1*=-4~?y-3* e 2x-5y=-19
<p>
3. A mdia aritmtica das duas provas de Matemtica feitas por Rogrio foi 7,0. Na segunda prova ele tirou 3 pontos a mais do que na primeira. Qual foi a nota da primeira prova?  
4. Qual das regies planas tem rea maior: uma regio retangular de 6 cm por 3,5 cm ou uma regio triangular com base de 8 cm e altura de 5 cm?  

5. Resolva as seguintes equaes fracionrias: 
a) #,c+2~x=#?fx=0
b) 1~?x+2*+2~?x-2*=
  =5~?x2-4*x=2; x=-2
 
6. Resolva este problema de dois modos: usando s uma incgnita e depois usando duas incgnitas. 
<F+>
<R->
  A soma de dois nmeros naturais  65. Dividindo o maior deles pelo menor, o quociente  6 e o resto  2. Quais so os dois nmeros?  
<R+>
<F->
<p>
7. Se 10~?x+1*=0,2777... e 4~?y-6*=1~y, qual  o valor de x-y? 
Copie as atividades de 8 a 12 e, em cada uma, assinale a alternativa correta.

8. Misturando 6 litros de gua com 2 litros de suco, a porcentagem de gua na mistura  de: 
a) 60%.  
b) 75%. 
c) 80%. 
d) 65%. 

9. As medidas dos trs ngulos internos de um tringulo podem ser: 
a) 47, 29 e 115. 
b) 88, 74 e 18.  
c) 180, 90 e 90. 
d) 30, 30 e 30. 
<p>
10. Quantos nmeros primos h entre 0 e 30? 
a) 11 
b) 9  
c) 10 
d) 12 

11. _`[{figura no adaptada_`]
^c?{a{d*: altura do tringulo {a{b{c.
^c?{a{e*: bissetriz do tringulo {a{b{c.
O valor de x : 
a) 20.  
b) 25. 
c) 30. 
d) 15. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
12. Neste quadrado mgico, os nmeros x e y so tais que: 
<p>      
!:::::!:::::!:::::     
l 7  l x   l 11 _   
r:::::r:::::r:::::w   
l 14 l 10 l 6  _   
r:::::r:::::r:::::w     
l y   l 8  l 13 _    
h:::::h:::::h:::::j    

a) x-y=4. 
b) x+y=21. 
c) x.y=72. 
d) xy=2. 
<F+>
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<280>
<R+>
Para ler, pensar e divertir-se  

 Ler 

 Os jogos acompanham os seres humanos desde a Pr-Histria. Jogos de tabuleiro foram encontrados em escavaes da antiga cidade sumria de Ur, na Mesopotmia, e datam de 3000 a.C. 
<R->
<p>
  O dado provavelmente veio substituir um osso chamado 
 *astrgalo*. No carneiro e na cabra, esse osso lembra um dado com 4 faces. Num antigo jogo chamado Tali os gregos lanavam, ao mesmo tempo, quatro astrgalos e verificavam as faces viradas para cima. A grande jogada era aquela em que se conseguiam 4 faces diferentes. Hoje equivaleria a jogar simultaneamente 6 dados e obter: 

<F->
!::::::::  !::::::::
l o     _  l oo   _
l        _  l        _
h::::::::j  h::::::::j

!::::::::  !::::::::
l ooo _  l ooo _
l        _  l o     _
h::::::::j  h::::::::j

!::::::::  !::::::::
l ooo _  l ooo _
l oo   _  l ooo _
h::::::::j  h::::::::j
<F+>
<p>
<R+>
<F->
_`[{foto seguida por sua legenda_`]
Legenda: Astrgalo de lhama com o formato similar aos de carneiros e cabras, utilizados como precursores dos dados atuais. 

 No se sabe onde comeou o jogo de cartas -- se na China, na ndia ou no Egito. Os baralhos, como os conhecemos hoje, apareceram na Frana no sculo XVI, aps a inveno da imprensa (sculo XV). 
<F+>
<R->
  O primeiro texto relacionando jogos de azar e Matemtica foi escrito pelo mdico, matemtico, filsofo e jogador inveterado 
 Gerolano Cardano (1501-1576), em 1550, e publicado apenas em 1663: *O livro sobre os jogos de azar*. Muitos outros matemticos se interessaram por esse assunto. Entre eles, Pascal, Bayes, Fermat e Laplace. 
<R+>
 Laplace (1749-1827), um dos mais renomados matemticos de 
<p>
  todos os tempos, afirmou sobre a teoria das probabilidades:  notvel que uma cincia que comeou com consideraes sobre jogos de azar se tivesse elevado ao nvel dos mais importantes assuntos do saber humano. 
<R->

Pensar 

  Um calendrio de mesa  formado por dois cubos, como estes _`[no adaptados_`]. Descubra uma forma de numerar as faces dos dois cubos para registrar todas as datas possveis de 01 a 31. 

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Divertir-se 

Faixa de Moebius 

  Pegue uma faixa de papel de aproximadamente 4 cm por 30 cm. 
<p>
 Trace uma linha no meio da faixa, na frente e no verso dela. 
  Faa uma toro na faixa exatamente como mostra a figura _`[no adaptada_`]. Cole as duas extremidades da faixa. Voc construiu uma Faixa de Moebius. August Moebius (1790-1868) investigou algumas propriedades dela. Voc vai descobri-las respondendo s perguntas. 
<R+>
<F->
a) Pinte a Faixa de Moebius. Quantos lados ela tem? 
b) Se voc fizer um furo na Faixa de Moebius e cort-la seguindo a linha traada, o que vai ocorrer? 
c) Corte-a e verifique se sua previso foi correta. 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
Glossrio

<R+>
<F->
-- A
lgebra: Parte da Matemtica que estuda clculos com nmeros e letras (incgnitas e variveis). O estudo das equaes faz parte da lgebra. 
Altura: Nome dado a uma dimenso em algumas figuras. 
Altura de um tringulo: Segmento de reta com uma extremidade em um vrtice do tringulo e a outra no lado oposto ou no seu prolongamento, formando ngulos retos. Todo tringulo possui trs alturas.
ngulo central: ngulo cujo vrtice  o centro de uma circunferncia. 
ngulo de segmento: Ver reta tangente a uma circunferncia e corda de uma circunferncia. ngulo que tem o vrtice em uma circunferncia, um dos lados sobre uma reta tangente  cir-
<p>
  cunferncia e o outro lado com dois pontos comuns  circunferncia. 
ngulo externo de um polgono convexo: Ver polgono e polgono convexo. ngulo formado por um lado do polgono e pelo prolongamento de outro lado consecutivo a ele. 
ngulo inscrito: Ver corda de uma circunferncia. ngulo cujo vrtice  um ponto da circunferncia e cujos lados contm duas cordas dessa circunferncia. 
ngulo interno de um polgono convexo: Ver polgono e polgono convexo. ngulo formado por dois lados consecutivos de um polgono convexo. 
ngulos adjacentes: ngulos que tm um lado comum e determinam duas regies, uma no contida na outra. 
<p>
ngulos alternos externos: Quando duas retas so cortadas por uma transversal, os ngulos externos em relao s duas retas, situados em lados opostos da transversal, chamam-se ngulos alternos externos. 
<282>
ngulos alternos internos: Quando duas retas so cortadas por uma transversal, os ngulos internos em relao s duas retas, 
  situados em lados opostos da transversal, chamam-se ngulos alternos internos. 
ngulos colaterais externos: Quando duas retas so cortadas por uma transversal, os ngulos externos em relao s duas retas, situados no mesmo lado da transversal, chamam-se ngulos colaterais externos. 
ngulos colaterais internos: Quando duas retas so cortadas por uma transversal, os ngulos internos em relao s duas retas, situados no mesmo lado da 
<p>
  transversal, chamam-se ngulos colaterais internos. 
ngulos complementares: Dois ngulos cuja soma das medidas  igual a 90. 
ngulos correspondentes: Quando duas retas so cortadas por uma transversal, os ngulos na mesma posio em relao s duas retas e  transversal so chamados ngulos correspondentes. 
ngulos opostos pelo vrtice: ngulos no adjacentes formados por duas retas que se cortam. 
ngulos suplementares: Dois ngulos cuja soma das medidas  igual a 180. 
Arco de uma circunferncia: Cada uma das duas partes de uma circunferncia que ficam determinadas quando marcamos dois de seus pontos. 
rea: Nome dado  medida de uma superfcie. 
<p>
-- B 
Baricentro de um tringulo: Ver mediana de um tringulo. Ponto em que se cruzam as trs medianas de um tringulo. Tambm chamado ponto de equilbrio do tringulo. 
<283>
Base mdia de um trapzio: Segmento de reta que tem as extremidades nos pontos mdios dos lados no paralelos de um trapzio. 
Binmio: Ver polinmio. Polinmio de dois termos. 
Bissetriz de um tringulo: Segmento de reta que liga um vrtice do tringulo ao lado oposto e divide ao meio o ngulo desse vrtice. 

-- C
Clculo algbrico: Clculo envolvendo nmeros e letras (nesse caso, variveis). Tambm  chamado de clculo literal. 
<p>
Caso de congruncia de tringulos: Situao na qual  possvel garantir a congruncia de dois tringulos sem a necessidade de verificar a congruncia dos trs lados e dos trs ngulos. 
Centro de uma circunferncia: Ver circunferncia. 
Circuncentro de um tringulo: Ver mediatriz de um segmento. Ponto em que se cruzam as mediatrizes dos lados de um tringulo. Corresponde ao centro da circunferncia que passa pelos trs vrtices do tringulo (circunferncia circunscrita ao tringulo). 
Circunferncia: Figura geomtrica formada por todos os pontos de um plano equidistantes de um dado ponto desse plano, chamado centro da circunferncia. 
Circunferncia circunscrita a um tringulo: Ver circuncentro de um tringulo.
<p>
Circunferncia inscrita em um tringulo: Ver incentro de um tringulo.
Circunferncias concntricas: Circunferncias que tm o mesmo centro.  
Circunferncias externas: Duas circunferncias sem ponto comum, tal que a medida da distncia entre seus centros  maior do que a soma das medidas de seus raios.
<284>
Circunferncias internas: Duas circunferncias sem ponto comum, tal que o crculo determinado por uma delas est totalmente contido no crculo determinado pela outra. 
Circunferncias secantes: Duas circunferncias que tm exatamente dois pontos comuns.  
Circunferncias tangentes: Duas circunferncias com apenas um ponto comum. 
Coeficiente de um monmio: Ver monmio e parte literal de um monmio. Parte numrica de um monmio. 
<p>
Congruncia: Ver figuras congruentes. 
Conjectura: Suposio de que uma afirmao seja verdadeira. 
Corda de uma circunferncia: Segmento cujas extremidades so pontos de uma circunferncia.

-- D
Demonstrao: Procedimento no qual, a partir de uma ou mais afirmaes, por um encadeamento de argumentos lgicos, chega-se a outra afirmao. 
Densidade de um conjunto de nmeros: Propriedade segundo a qual entre dois nmeros do conjunto existe sempre um nmero do conjunto. Dizemos nesse caso que o conjunto  denso. 
Densidade triangular: Nome dado  seguinte propriedade dos 
  tringulos: em qualquer tringulo, a medida de um lado  sempre menor do que a soma das medidas dos outros dois lados. 
<p>
Diagonal de um polgono convexo: Ver polgono e polgono convexo. Segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos de um polgono convexo. 
Dimetro de uma circunferncia: Segmento de reta cujas extremidades so dois pontos de uma circunferncia e que passa pelo centro.

-- E
Equao: Igualdade que contm nmeros desconhecidos, geralmente representados por letras chamadas de incgnitas.
<285>
Equao fracionria: Equao na qual pelo menos uma incgnita aparece em denominador.  
Equao literal: Equao que contm outras letras alm das incgnitas. Essas letras indicam nmeros conhecidos.
Expresso algbrica: Indicao de operaes com nmeros e letras que representam nmeros. O mesmo que expresso literal.  
<p>
Expresso algbrica inteira: Ver expresso algbrica. Expresso que no tem varivel (letra) em denominador ou dentro de radical. 
Expresso literal: Ver espresso algbrica.

-- F
Fatorao: Transformao em multiplicao de uma expresso algbrica ou de um nmero.
Figuras congruentes: Se for possvel transportar uma figura sobre outra, de modo que elas coincidam, dizemos que essas figuras so congruentes ou que existe uma congruncia entre elas. 
Frmula: Igualdade que relaciona os valores de duas ou mais variveis. 
Frao algbrica: Frao cujo denominador  uma expresso algbrica com varivel. 
<p>
-- G
Generalizao: Ao de considerar para todos os casos uma propriedade observada em alguns casos particulares. 
Grau de um monmio: Ver monmio. Em um monmio, o grau  dado pela soma dos expoentes de sua parte literal. 
Grau de um polinmio: Ver grau de um monmio. Dado um polinmio, seu grau  o do termo (monmio) de maior grau, depois de reduzidos os termos semelhantes. 

<286>
-- I
Incentro de um tringulo: Ver bissetriz de um tringulo. Ponto em que se cruzam as trs bissetrizes de um tringulo. Corresponde ao centro da circunferncia que tangencia cada lado do tringulo (circunferncia inscrita no tringulo). 
<p>
Incgnita: Ver equao e inequao. Letra que representa um nmero desconhecido em uma equao ou inequao. 
Inequao: Sentena matemtica na qual aparece um sinal de desigualdade (>, <, >= ou <=) e uma ou mais letras de valor desconhecido (incgnitas).

-- L
Linha do horizonte: Ver perspectiva.

-- M
Mediana de um tringulo: Segmento que tem como extremidades um vrtice do tringulo e o ponto mdio do lado oposto a esse vrtice. 
Mediatriz de um segmento: Ver ponto mdio de um segmento de reta. Reta que passa pelo ponto mdio do segmento e  perpendicular a ele. 
<p>
Mtodo da adio: Ver sistemas de equaes. Procedimento que pode ser usado para a resoluo de alguns sistemas de equaes. 
Mtodo da substituio: Ver sistema de equaes. Procedimento que pode ser usado para a resoluo de alguns sistemas de equaes. 
Mtodo grfico: Ver sistemas de equaes. Procedimento que permite obter a soluo de um sistema de equaes por meio da representao geomtrica das duas equaes do sistema. 
Mnimo mltiplo comum de polinmios: Dados dois ou mais polinmios, o mmc deles  o polinmio mais simples que tem diviso exata por todos eles. 
<287>
Monmio: Ver expresso algbrica e expresso algbrica inteira. Expresso algbrica inteira que apresenta apenas multiplicao entre nmeros e letras. O mesmo que termo algbrico.
<p>
Monmios semelhantes: Ver monmio e parte literal de um monmio. Monmios que tm a mesma parte literal. O mesmo que termos algbricos semelhantes. 

-- N
_n: Smbolo que indica o conjunto formado por todos os nmeros naturais. 
Nmero irracional: Nmero cuja representao decimal  infinita e no peridica.

-- O
Ortocentro de um tringulo: Ver altura de um tringulo. Ponto em que se cruzam as trs retas que contm as alturas de um tringulo.

-- P
Par ordenado:  formado por dois nmeros em determinada ordem e permite a localizao de um pon-
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  to no plano. Esses nmeros so as coordenadas cartesianas do ponto. 
Parte literal de um monmio: Ver monmio e coeficiente de um monmio. Parte que corresponde s letras de um monmio. 
Permetro: Medida de comprimento do contorno de uma regio plana. 
Perspectiva: Maneira de representar um objeto como ele  visto, dando a iluso de profundidade. 
PI: Nome que se d ao nmero irracional que corresponde ao quociente da medida do comprimento de qualquer circunferncia pela medida do seu dimetro. 
Planificao de slido geomtrico: Figura plana que se obtm desmontando a superfcie ("casca") de um slido geomtrico. 
Poliedro: Slido geomtrico que possui apenas faces planas. 
Poliedro regular: Ver poliedro. Poliedro em que todas as faces so regies poligonais regulares 
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  iguais e para cada vrtice converge sempre o mesmo nmero de arestas. 
Polgono: Linha fechada formada apenas por segmentos de reta que no se cruzam. 
Polgono convexo: Polgono no qual, marcando dois pontos quaisquer A e B na regio determinada por ele, todo segmento ^c?{a{b* estar contido nessa regio.  
Polgono regular: Ver polgono. 
Polinmio: Ver expresso algbrica e monmio. Expresso algbrica que indica uma adio de dois ou mais monmios. 
Ponto de fuga: Ver perspectiva.
Ponto mdio de um segmento de reta: Ponto equidistante das extremidades, em um segmento de reta.
Produto notvel: Multiplicao de expresses algbricas que apresenta uma regularidade em seus resultados, que simplifica o clculo algbrico.  
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-- Q
_q: Smbolo que indica o conjunto formado por todos os nmeros racionais.

-- R
_r: Ver _q e nmero irracional. Smbolo que indica o conjunto formado por todos os nmeros reais. 
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Raio de uma circunferncia: Segmento de reta cujas extremidades so o centro e um ponto da circunferncia. 
Reduo de termos semelhantes: Ver expresso algbrica e monmios semelhantes. Simplificao de uma expresso algbrica, determinando sua forma reduzida atravs da adio dos seus termos ou monmios semelhantes. 
Relao de Euler: Ver poliedro. Relao entre o nmero de vrtices (V), o de faces (F) e o de arestas (A) de um poliedro convexo. 
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Relao de Pitgoras: Relao que teve seus primeiros estudos atribudos ao matemtico grego Pitgoras (sculo V a.C.): em todo tringulo retngulo o quadrado da medida do lado maior  igaul  soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. 
Reta externa a uma circunferncia: Reta que no tem ponto comum com uma circunferncia. 
Reta secante a uma circunferncia: reta que tem dois pontos comuns com uma circunferncia. 
Reta tangente a uma circunferncia: Reta que tem apenas um ponto comum com uma circunferncia. 

-- S
Simplificao de frao: Processo pelo qual, a partir de uma frao, obtemos outra equivalente  primeira, porm mais simples.  
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Sistemas de eixos cartesianos: Ver par ordenado.  constitudo por eixos orientados perpendiculares entre si e usado para a localizao de pontos. 
Sistemas de equaes: Ver equao. Conjunto de duas ou mais equaes das quais se procuram as solues comuns.
Superfcie: Tipo de grandeza.

-- T
Termo algbrico: Ver monmio. 
Termos algbricos semelhantes: Ver monmios semelhantes.
Trapzio issceles: Trapzio no qual os dois lados no paralelos so congruentes.
Trapzio retngulo: Trapzio que tem dois ngulos internos retos. 
Trinmio: Ver polinmio e monmio semelhantes. Polinmio de trs termos no semelhantes.

-- V
Valor numrico de uma expresso algbrica: Ver expresso al-
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  gbrica. Valor que uma expresso algbrica assume quando substitumos cada varivel por um nmero. 
Varivel: Ver expresso algbrica.
Volume: Tipo de grandeza. Indica o espao ocupado por um slido geomtrico. 

-- Z
_z: Smbolo que indica o conjunto formado por todos os nmeros inteiros. 
<F+>
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo          

Fim da Oitava Parte